計算機概論工教一 39號: 數位邏輯電路

數位電路或數位積體電路是由許多的邏輯閘組成的複雜電路。與類比電路相比，它主要進行數位訊號的處理（即訊號以0與1兩個狀態表示），因此抗干擾能力較強。數位積體電路有各種閘電路、正反器以及由它們構成的各種組合邏輯電路和時序邏輯電路。一個數位系統一般由控制部件和運算部件組成，在時脈的驅動下，控制部件控制運算部件完成所要執行的動作。透過類比數位轉換器、數位類比轉換器，數位電路可以和類比電路互相連線。

數位電路中研究的主要問題是輸出訊號的狀態（「0」或「1」）和輸入訊號（「0」或「1」）之間的邏輯關聯，即電路的邏輯功能。
數位電路的研究方法是邏輯分析和邏輯設計，所需要的工具是邏輯代數。（在正邏輯下，「0」是低電平，「1」是高電平，高低電平沒有明確的界限）

優點

電子裝置從以類比方式處理資訊，轉到以數位方式處理資訊的原因，主要在以下幾個方面：

穩定性好。數位電路不像類比電路那樣易受雜訊的干擾。
可靠性高。數位電路中只需分辨出訊號的有與無，故電路的元件參數，可以允許有較大的變化（漂移）範圍。
能長期儲存。數位資訊可以利用某種媒介，如磁帶、磁碟、光碟等進行長時期的儲存。
便於電腦處理。數位訊號的輸出除了具有直觀、準確的優點外，最主要的還是便於利用電子電腦來進行資訊的處理。
便於高度整合化。由於數位電路中基本單元電路的結構比較簡單，而且又允許元件有較大的分散性，這就使我們不僅可把眾多的基本單元做在同一塊矽片上，同時又能達到大批次生產所需要的良率。

布林邏輯（台灣譯布林運算，中國大陸譯布尔逻辑）得名於喬治·布林，他是愛爾蘭科克的皇后學院的英國數學家，他在十九世紀中葉首次定義了邏輯的代數系統。現在，布林邏輯在電子學、計算機硬體和軟體中有很多應用。在1937年，克勞德·艾爾伍德·香農展示了布林邏輯如何在電子學中使用。
使用集合代數作為介紹布林邏輯的一種方式。還使用文氏圖來展示各種布林邏輯陳述所描述的集合聯繫。

可以使用各種樣式的基本算符來表達布林邏輯。AND(與)、OR(或)、NOT(非)是最直覺的。數學家、工程師和程式設計師經常使用 + 表示或， $\cdot$ 表示與(因為在某些方面這些運算類似於在其他代數結構中的加法和乘法，並且這種記號使熟悉普通代數的人易於得到積之和範式)。非也表示為在要否定的表達式頂上的一個橫線。
另一種記號使用"交"表示與使用"並"表示或。但是這會導致混淆，因為術語"並"也經常用於合併集合的另一個布林運算，它包括了與和或二者。

布林邏輯只使用兩個值 0 和 1，這兩個值的交集和聯集可以使用真值表定義如下:

$\cap$	0	1
0	0	0
1	0	1

$\cup$	0	1
0	0	1
1	1	1

也可以建立涉及多個輸入和其他布林運算的更複雜的真值表。

真值表應用在邏輯中，解釋 0 為假，1 為真， $\cap$ 為與， $\cup$ 為或，而 ¬ 為非。

設 X 是一個集合:

元素是一個集合的成員。表示為 $\in$ 。如果它不是這個集合的元素，表示為 $\notin$ 。

全集是集合 X，有時表示為 1。注意使用全集這個詞意味著「慮及的所有元素」，不必然的同「現有的所有元素」一樣。

空集或 null 集合是沒有元素的集合，表示為 $\varnothing$ ，有時表示為 0。

一元算符應用於一個單一的集合。有一個一元算符叫做邏輯非(NOT)。它的作用是採用差集。

二元算符應用於兩個集合。基本的二元算符是邏輯或(OR)和邏輯與(AND)。它們進行集合的聯集和交集。還有其他衍生的二元算符，比如邏輯異或(XOR)(排他的或)。

子集表示為 A $\subseteq$ B，意味這在集合 A 中所有元素都在集合 B 中。

真子集表示為 A $\subset$ B，意味著在集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，並且兩個集合不等同。

超集表示為 A $\supseteq$ B，意味著在集合 B 中的所有元素都在集合 A 中。

真超集 表示為 A $\supset$ B，意味著在集合 B 中的所有元素都在集合 A 中，並且兩個集合不等同。

為兩個主要的二元運算的符號定義為 $\land / \cap$ (邏輯與/交集)和 $\lor / \cup$ (邏輯或/聯集)，把單一的一元運算的符號定義為 $\lnot$ / ~ (邏輯非/差集)。我們還使用值 0 (邏輯假/空集)和 1 (邏輯真/全集)。下列性質適用於布林代數和布林邏輯二者:

$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	結合律
$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	交換律
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	吸收律
$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	分配律
$a \lor \lnot a = 1$	$a \land \lnot a = 0$	互補律
$a \lor a = a$	$a \land a = a$	冪等律
$a \lor 0 = a$	$a \land 1 = a$	有界律
$a \lor 1 = 1$	$a \land 0 = 0$	有界律
$\lnot 0 = 1$	$\lnot 1 = 0$	0 和 1 是互補的
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$	德·摩根定律
$\lnot \lnot a = a$		對合律